André Machado

Na próxima quarta-feira, os alunos da disciplina de Software Livre na educação vão organizar uma oficina sobre as possibilidades de uso de tecnologias livres na educação. E eu estarei lá contando algumas experiências e auxiliando o pessoal e o público. Esperamos você.

 

Enquanto peregrinava por aí procurando um wallpaper matemático para meu notebook, deparei-me com esse vídeo do YouTube:

https://www.youtube.com/watch?v=w-B2_Vvusa4#!

Clique no link para assistir.

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Você sabe o que é conhecimento livre?

Você sabe como funciona a Wikipédia?

Venha participar de uma apresentação sobre o Programa Wikipédia no Ensino. Conheça como a maior enciclopédia livre do mundo tem sido usada como ferramenta de ensino em salas de aula no Brasil e ao redor do mundo. Seminário com Oona Castro, consultora no Brasil para a Wikimedia Foundation e professores da UFRGS.

Público alvo: Estudantes, professores e todos interessados no uso de recursos computacionais abertos na educação em todos os níveis.

Quando? 23 de maio às 15h30min

Onde? Anfiteatro do prédio 43123
Seminário com Oona Castro, consultora no Brasil da Wikimedia Foundation, Rafael Pezzi e Fabio Azevedo, professores da UFRGS.

Entrada franca

Contato: lechat.wiki @ gmail.com

 

Na manhã de hoje, o popular site de buscas Google colocou, em sua página inicial, um doodle comemorativo ao aniversário de 306 anos do nascimento do matemático e físico suíço Leonhard Euler, que deu valiosas contribuições para esses dois campos do conhecimento descobrindo, entre outras coisas, a relação entre faces, vértices e arestas de um poliedro e o famoso número que leva seu nome.

Em homenagem a esse dia tão especial, vou publicar aqui uma demonstração do Teorema de Euler  desenvolvida pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, que foi publicada na terceira edição da Revista do Professor de Matemática, lá no ano de 1983.

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Dadas r e s duas retas distintas, as únicas posições relativas que podem ocorrer entre elas são:

1) r ∩ s = P ponto. Neste caso, dizemos que r e s são retas concorrentes. Note que, como pelo Postulado 3, três pontos distintos do espaço não colineares determinam um único plano, as retas concorrentes r e s sempre serão coplanares, pois é possível determinar um único plano pegando-se um ponto de r diferente de P, um ponto de s diferente de P e o próprio ponto P, conforme você pode ver na ilustração abaixo:

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Quando o professor inicia o ensino de Geometria Espacial, ele enfrenta um difícil obstáculo que é a representação gráfica dos sólidos em sala de aula.

Embora saibamos que, atualmente, dispomos de vários softwares livres e comerciais para visualizar sólidos e construções geométricas espaciais, na maioria das vezes o professor dispõe apenas dos velhos giz e quadro negro para dar sua aua e, é claro, que esses recursos possuem suas limitações.

Quando estamos na Geometria Plana, é relativamente fácil construir as figuras, pois o próprio quadro negro pode ser utilizado como plano. Já quando passamos para o espaço, notamos as dificuldades. Na ilustração acima, por exemplo, a representação de um círculo, à esquerda, não enfrenta maiores problemas; já a representação de um tetraedro, à direita, pode exigir um pouco de esforço mental por parte do aluno.

Por isso, a Geometria Espacial é uma ótima oportunidade de se introduzir, ainda na escola básica, os conceitos axiomáticos da Matemática.

Propriedades iniciais

Reafirmamos, para a Geometria Espacial, os conceitos primitivos de ponto, de reta e de plano. Ainda, em cada plano, consideremos válidas todas as propriedades e teoremas da Geometria Plana pois, assim, não precisaremos provar tudo de novo.

Definamos, agora, os primeiros postulados da Geometria Espacial:

Postulado 1: Por dois pontos distintos do espaço passa uma, e somente uma, reta;
Postulado 2: Dada uma reta no espaço, existem pontos que pertencem a ela e pontos que não pertencem a ela;
Postulado 3: Por três pontos do espaço, não pertencentes a uma mesma reta, passa um, e somente um, plano.
Postulado 4: Dado um plano no espaço, existem pontos que pertencem a ele e pontos que não pertencem a ele.

O Postulado 2 nos diz que o espaço não é uma reta; o postulado 4 nos diz que ele não é um plano e, com isso, concluímos que o espaço possui mais do que 2 dimensões.

Com esses postulados, podemos enunciar nosso primeiro Teorema:

Teorema 1: Se uma reta tem dois de seus pontos (distintos) pertencentes a um mesmo plano, então a reta está contida no plano (em outras palavras, esse teorema nos diz que a reta é “reta”, ou seja, ela não se curva ou dá voltas).
Demonstração: Sejam r a reta do enunciado e P, Q os dois pontos distintos de r. Seja α plano contendo P e Q. A mostrar: r ⊆α.
Note que α é um plano, logo a Geometria Plana vale em α. Assim, como P, Q ∈ α, ∃! s reta passando por P e Q em α.
Pelo Postulado 1, deve valer que r = s. Como s ⊆ α, segue que r ⊆ α.

Posições relativas entre reta e plano

Dados uma reta r e um plano α, existem apenas três posições relativas possíveis entre eles:

1) r ∩ α = ∅ ( r é paralela a α)
2) r ∩ α = {P} (r “fura” α), r é secante a α)
3) r ∩ α = {P, Q} ⇒ (T1) r ∩ α ⊇ r ⇔ α ⊇ r ⇒ r ∩ α = r.

O próximo postulado nos diz que o espaço não é muito espaçoso:

Postulado 5: Se dois planos α e β se interseccionam em um ponto P, então eles possuem outro ponto em comum (e, daí, pelo Teorema 1, eles possuem uma reta inteira em comum).

Posições relativas entre planos

Graças ao Postulado 5, existem apenas duas posições relativas entre planos:

1) α ∩ β = r reta;

2) α é paralelo a β ⇒ α ∩ β = ∅ ou α ∩ β = α = β.

Demonstração:

- Se α ∩ β = ∅, os planos são paralelos e não coincidentes.

- Se α ∩ β ≠ ∅, então ∃ P no espaço tal que P ∈ α ∩ β. Pelo Postulado 5, existe Q ≠ P tal que Q ∈ α ∩ β. Se r é a reta que passa por P e Q, o Teorema 1 garante que r ⊆ α e r ⊆ β pois P, Q ∈ α e P, Q ∈ β. Daí, r ⊆ α ∩ β.

Então, é possível que α ∩ β = r.

Seja T ∈ α tal que T ∉ r (tal T existe pela Geometria Plana). Se T ∈ β, concluímos que β = α, pois pelo Postulado 3, dados três pontos não colineares, o plano que passa por eles é único. Finalmente, se T ∉ β , α ∩ β = r)

Dado um cone de folha dupla e um plano secante que não passa pelo vértice do mesmo, chamamos de seções cônicas ou, simplesmente, de cônicas à curva obtida através do corte do cone pelo plano. Dependendo de onde ocorre o corte, a cônica poderá ser classificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola.

Caso o plano secante passe pelo vértice do cone, teremos uma degeneração, que poderá ser um ponto, uma reta, um par de retas concorrentes ou o conjunto vazio.

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Não poderíamos começar 2013 de outra forma que não a de resgatar os grandes clássicos. No ano passado, já falamos sobre como você poderia entender o Teorema de Pitágoras através da área de quadrados construídos sobre os catetos e a hipotenusa.

Caso, porém, você, mesmo assim, não tenha entendido direito, segue aqui uma outra demonstração prática que utiliza a mesma ideia do post, relacionando Pitágoras com a Hidrostática da Física:

É importante salientar, porém, que apesar de esse experimento ser capaz de te deixar boquiaberto, ele tem algumas deficiências matemáticas. A principal delas é o fato de que o Teorema de Pitágoras trata de áreas e, nessa instigante animação, estamos falando de volumes. No caso, aqui é mostrado que  a soma dos volumes dos dois prismas construídos sobre os catetos é igual ao volume do prisma construído sobre a hipotenusa. Para se utilizar essa demonstração, seria necessário, antes, estabelecer uma relação entre área e volume.

É claro que ela serve para ilustrar o conceito, mas é melhor ficar com o post linkado acima.

As medidas de posição e de dispersão são capazes de nos fornecer informações úteis e interessantes a respeito dos nossos conjuntos de dados. No entanto, quando esse conjunto é muito grande (o que muitos estatísticos consideram ser mais do que 30 elementos), torna-se difícil trabalhar diretamente com a informação.

Para facilitar nosso trabalho, quando lidamos com grandes conjuntos de dados precisamos, inicialmente, agrupá-los. Isso se dá na forma de uma distribuição de frequências.

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Depois do grande sucesso que foi calcular quanto tempo demoraria para assistir a todas as 1 bilhão de visualizações de Gangnam Style, eis que encontrei um outro vídeo que mostra qual a quantidade máxima de vídeos que pode ser inserida naquele site.

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