Posições relativas na circunferência

Em relação a uma circunferência, uma reta pode ser secante, tangente ou exterior.

Dizemos que uma reta é secante à circunferência se ela corta a circunferência em dois pontos distintos:

Uma reta secante à circunferência nos pontos A e B

A reta secante tem a propriedade de ser perpendicular ao raio pelo seu ponto médio:

Propriedade da secanteDemonstração: Seja M o ponto médio da corda AB. Pelo caso LLL, os triângulos OAM e OBM são congruentes, logo OM é perpendicular a AB e, portanto, à reta que contém AB.

Uma reta é tangente à circunferência se a intercepta em um único ponto:

Reta tangente à circunferência

Perceba, neste caso, que a reta possui apenas um ponto em comum com a circunferência e todos os seus demais pontos são externos à circunferência. Assim como a secante, a tangente também possui uma propriedade:  toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio em seu pionto de tangência:

Propriedade da tangenteDemonstração: Se a reta não fosse perpendicular a OA, então teríamos o seguinte: seja M pé da perpendicular à reta por O. O ponto M seria distinto de A. Tomando na semirreta oposta a MA um ponto X tal que MX seja congruente a MA, teríamos que: OM comum, OM perpendicular a AX, MA congruente a MX. Por LAL, o triângulo OMX é congruente a OMA, logo OX seria congruente a OA, portanto OX seria igual ao raio da circunferência e, assim, X pertenceria à circunferência. Logo, a reta interceptaria a circunferência em dois pontos distintos, A e X, o que é absurdo, pois a reta tangente intercepta a circunferência em um único ponto.

Uma reta também pode ser externa a uma circunferência:

Reta externa à circunferência

A seguinte relação é válida: uma reta é secante à circunferência se a distância de seu centro à reta for menor do que o raio; é tangente se a distância entre o centro e a reta for igual ao raio e é externa se a distância for maior do que o raio.

Assim como as retas, também é possível estudar a posição relativas de duas circunferências, onde r1 e r2 são as medidas dois raios e d é o comprimento do segmento de reta entre r1 e r2:

Posição relativas entre duas circunferências

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