O que significa ser incomensurável?

Muitos conceitos matemáticos são aplicados e entendidos de forma incorreta em nosso cotidiano. A comensurabilidade é um destes.

Geralmente associamos a palavra incomensurável a algo muito grande, que não pode ser contado. É comum ouvirmos frases do tipo:

  • O Universo tem um número incomensurável de estrelas;
  • Fomos fazer um piquenique no campo, mas um número incomensurável de formigas atacou a comida;

Nestas duas sentenças, a palavra incomensurável passa a ideia de uma quantidade tão grande que não podemos contar. Esta interpretação, no entanto, está matematicamente incorreta.

Nada pode ser incomensurável sozinho: algo só pode ser (in)comensurável em relação a outra coisa!

Assim, para esclarecermos a história de vez, definimos que dois segmentos de reta euclidiana, AB e CD, só serão comensuráveis se existirem dois números naturais, m e n, tal que mAB = nCD.

Com isso, os segmentos de reta podem ser divididos em dois tipos: aqueles que são comensuráveis com o segmento unitário, isto é, um múltiplo do segmento AB é congruente a um múltiplo do segmento unitário e aqueles que não são comensuráveis com o segmento unitário, ou seja, nenhum múltiplo do segmento AB será congruente a um múltiplo do segmento unitário.

Os segmentos que são comensuráveis com o segmento unitário possuem, como medida, um número racional absoluto.

A descoberta dos segmentos incomensuráveis com o segmento unitário causou uma enorme crise na Matemática do mundo antigo. Até então, os matemáticos gregos acreditavam que todos os segmentos eram comensuráveis com a unidade. Por volta de 450 a.C., porém, eles descobriram que a diagonal de um quadrado de lado unitário não é comensurável à medida do lado pois, se fosse, deveria haver um número racional igual à raiz de 2, o que é um absurdo! Esta descoberta levou, também, a uma crise filosófica, pois a escola Pitagórica acreditava que as leis do Universo eram regidas por leis matemáticas expressas como razões de números naturais.

Assim, a solução da crise foi a descoberta dos números irracionais, simbolizando um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

2 thoughts on “O que significa ser incomensurável?

  1. Sempre acreditei que em matemática, não há exatidão. Ciência, pura ciência. Só ainda não sei como demonstrar, mas de fato acredito, a dependendo de um referencial, um segmento de reta poderá ser comensurável e ou incomensurável. assim, com defendo a hipótese de que, o compriemento de uma circunferência é irracional. Aguardo auxílio, nesta hipótese.

  2. É; olhando pelo lado da matemática que é dita ciência exata, tá certo. Se olharmos pelo lado filosófico, creio, estaremos estabelecendo uma compreensão de imagem ou passando uma noção de infinito. Acredito que o conjunto universo pode estar aberto para outras interpretações.

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