O que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas?

Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas, também chamadas de  injetoras, sobrejetoras e bijetoras, são classificações de funções quanto ao seu domínio, ao seu contradomínio e à sua imagem.

Dizemos que uma função Latex formula é injetiva se, dados dois valores quaisquer distintos do domínio, suas imagens serão distintas.

Vamos a um exemplo:

Gráfico de uma função afim

Acima, temos o gráfico de uma função afim – a saber, f(x) = x + 1. Este gráfico representa uma função injetiva, pois se pegarmos dois valores distintos do domínio, suas imagens serão distintas. A saber, a imagem de 0 é 1 e a imagem de 1 é 2.

Agora, veja o gráfico de uma função quadrática:

Gráfico de uma função quadrática

Esta função não é injetiva pois, se pegarmos dois valores diferentes do domínio, digamos -1 e 3, estes apresentarão a mesma imagem, no caso, 0. Para tornar uma função injetiva, devemos modificar seu domínio. Assim, se mudarmos o domínio da função quadrática acima para Fórmula, toda a parte negativa desaparecerá e a função será injetiva.

Como demonstrar: Para demonstrarmos que uma função é injetiva, devemos supor, por absurdo, que dois valores diferentes de y são iguais e, assim, concluir que o x que os gera é o mesmo, deste jeito:

Afirmamos que a função Real de variável Real f(x) = x + 1 é injetiva. Vamos supor y1 = f(x1), y2 = f(x2) e y1 = y2. Disto, decorre que:

Fórmula

Dizemos que uma função Latex formula é sobrejetiva se sua imagem é igual ao seu contradomínio.

Nos exemplos acima, a função afim é sobrejetiva, pois seu domínio é o conjunto dos Reais e seu contradomínio também é o conjunto dos Reais. É fácil perceber que a reta que sua imagem também é R. Já a função quadrática apresentada não é sobrejetiva pois, embora seu domínio e seu contradomínio sejam R, não existe nenhum valor que, aplicada a ela, poderá gerar uma imagem menor do que -4. EM outras palavras, o gráfico nunca cortará o eixo das abscissas abaixo de -4, independente do valor que se atribua a x.

Para tornarmos uma função sobrejetiva, temos que alterar seu contradomínio. Por exemplo, seja a função modular abaixo (desconsiderar parte vermelha):

Gráfico de uma função modular

Se esta função for de f: R -> R, ela não será sobrejetiva, mas se restringirmos seu contradomínio de forma que ela seja uma função Latex formula, ela se tornará sobrejetiva.

Uma função bijetiva é aquela que é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Este tipo de função é importante porque ela é o único tipo de função que possui inversa. Assim, antes de procurarmos a inversa de uma função, devemos verificar se ela é bijetiva e, se não for, devemos restringir seu domínio e seu contradomínio conforme o caso.

11 thoughts on “O que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas?

  1. Hey, André! Adorei o conteúdo desse post, me ajudou bastante a entender essa matéria para as minhas aulas de Cálculo. Obrigada!!! :)

    • Daffny, mts pessoas se confundem com os pronomes ” me ” e “mim”, um truque q pode ser usado é lembrar que o “mim” é sempre usado no final da frase, por exemplo :” Você trouxe esse livro para mim ?”; E o ” me ” é usado no meio da frase :” Isso me ajudou muito, obrigada .” Quando se usa o “mim” no meio da frase, o entendimento possibilita a interpretação de que você é indígena, não desmerecendo sua cultura nem nada.. bjos

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